基礎問題集
数学C 式と曲線「双曲線」の問題11 解説
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解説
方針・初手
楕円 $C_1$ と双曲線 $C_2$ は焦点 $F,F'$ を共有している。したがって、交点 $P$ に対して楕円の定義から $FP+F'P$ が分かり、双曲線の定義から $F'P-FP$ が分かる。
まず $C_2$ の標準形を作り、その後、焦点からの距離の和と差を利用する。
解法1
楕円
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1
$$
の焦点は、長半径の2乗が $9$、短半径の2乗が $5$ であるから、
$$ c^2=9-5=4
$$
より、
$$ F=(2,0),\qquad F'=(-2,0)
$$
である。
双曲線 $C_2$ は焦点が $F,F'$ であり、中心は原点、焦点は $x$ 軸上にある。したがって
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
とおける。
この双曲線の漸近線は
$$ y=\pm \frac{b}{a}x
$$
であるから、条件 $y=\pm mx$ より
$$ \frac{b}{a}=m
$$
すなわち
$$ b^2=m^2a^2
$$
である。
また、焦点距離について
$$ a^2+b^2=2^2=4
$$
が成り立つ。よって
$$ a^2+m^2a^2=4
$$
から
$$ a^2=\frac{4}{1+m^2},\qquad b^2=\frac{4m^2}{1+m^2}
$$
である。したがって、$C_2$ の方程式は
$$ \frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}}-\frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}}=1
$$
である。
次に、$P$ は楕円 $C_1$ 上にあるから、楕円の定義より
$$ FP+F'P=6
$$
である。
また、$P$ は第1象限にあるので $x>0$ であり、双曲線 $C_2$ の右側の枝上にある。このとき $F'P>FP$ である。双曲線の定義より
$$ F'P-FP=2a
$$
であり、ここで
$$ a=\sqrt{\frac{4}{1+m^2}}=\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}
$$
だから、
$$ F'P-FP=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}
$$
である。
よって
$$ \begin{aligned} FP+F'P&=6,\\ F'P-FP&=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned}
$$
を解くと、
$$ FP=3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\qquad F'P=3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}
$$
となる。
最後に、$\angle F'PF=60^\circ$ とする。三角形 $F'PF$ において
$$ FF'=4
$$
である。余弦定理より
$$ FF'^2=FP^2+F'P^2-2\cdot FP\cdot F'P\cos 60^\circ
$$
すなわち
$$ 16=FP^2+F'P^2-FP\cdot F'P
$$
である。
ここで
$$ FP+F'P=6
$$
より、
$$ FP^2+F'P^2=(FP+F'P)^2-2FP\cdot F'P=36-2FP\cdot F'P
$$
だから、
$$ 16=36-3FP\cdot F'P
$$
となる。したがって
$$ FP\cdot F'P=\frac{20}{3}
$$
である。
一方、
$$ \begin{aligned} FP\cdot F'P &=\left(3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)\left(3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)\\ &=9-\frac{4}{1+m^2} \end{aligned}
$$
であるから、
$$ 9-\frac{4}{1+m^2}=\frac{20}{3}
$$
を得る。これを解くと、
$$ \frac{4}{1+m^2}=\frac{7}{3}
$$
より
$$ 1+m^2=\frac{12}{7}
$$
したがって
$$ m^2=\frac{5}{7}
$$
である。$m$ は正の実数なので、
$$ m=\sqrt{\frac{5}{7}}
$$
である。
解説
この問題では、交点 $P$ の座標を直接求める必要はない。焦点を共有していることを利用し、楕円では「焦点からの距離の和」、双曲線では「焦点からの距離の差」を使うのが最も自然である。
特に、$P$ が第1象限にあるため、双曲線 $C_2$ の右枝上にあり、$F'P>FP$ となる。この向きを取り違えると、距離の差の符号を誤る。
角度条件は三角形 $F'PF$ に対して余弦定理を使えばよい。$FP+F'P$ が一定であるため、式は $FP\cdot F'P$ だけに整理できる。
答え
**(1)**
$$ \frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}}-\frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}}=1
$$
**(2)**
$$ FP=3-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}},\qquad F'P=3+\frac{2}{\sqrt{1+m^2}}
$$
**(3)**
$$ m=\sqrt{\frac{5}{7}}
$$