基礎問題集
数学C 式と曲線「双曲線」の問題12 解説
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解説
方針・初手
双曲線 $H:x^2-y^2=1$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線は
$$ x_0x-y_0y=1
$$
である。したがって、各接線の方程式を先に求め、指定された直線との交点を計算する。
また、$C(s,t)$ は $H$ 上の点であるから
$$ s^2-t^2=1
$$
であり、$t\ne 0$ より $s\ne 0,\ s\ne \pm 1$ である。
解法1
**(1)**
点 $A(-1,0)$ における接線は
$$ -x=1
$$
すなわち
$$ x=-1
$$
である。
直線 $BC$ は、媒介変数 $\lambda$ を用いて
$$ (x,y)=(1,0)+\lambda(s-1,t)
$$
と表せる。すなわち
$$ x=1+\lambda(s-1),\qquad y=\lambda t
$$
である。
これが接線 $x=-1$ と交わるとき、
$$ 1+\lambda(s-1)=-1
$$
より
$$ \lambda=-\frac{2}{s-1}
$$
である。したがって
$$ y=\lambda t=-\frac{2t}{s-1}=\frac{2t}{1-s}
$$
となる。よって
$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right)
$$
である。
**(2)**
点 $C(s,t)$ における接線は
$$ sx-ty=1
$$
である。
直線 $AB$ は $x$ 軸であるから
$$ y=0
$$
である。これを接線の方程式に代入すると
$$ sx=1
$$
より
$$ x=\frac{1}{s}
$$
である。したがって
$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right)
$$
である。
**(3)**
点 $B(1,0)$ における接線は
$$ x=1
$$
である。
直線 $AC$ は、媒介変数 $\mu$ を用いて
$$ (x,y)=(-1,0)+\mu(s+1,t)
$$
と表せる。すなわち
$$ x=-1+\mu(s+1),\qquad y=\mu t
$$
である。
これが接線 $x=1$ と交わるとき、
$$ -1+\mu(s+1)=1
$$
より
$$ \mu=\frac{2}{s+1}
$$
である。したがって
$$ R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right)
$$
である。
ここで、$P,Q,R$ が一直線上にあることを、傾きの一致で示す。
まず
$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right),\qquad Q\left(\frac{1}{s},0\right)
$$
より、直線 $PQ$ の傾きは
$$ \frac{0-\frac{2t}{1-s}}{\frac{1}{s}-(-1)} = \frac{-\frac{2t}{1-s}}{\frac{1+s}{s}}
-\frac{2st}{(1-s)(1+s)}
$$
である。$1-s^2=-(s^2-1)$ だから、
$$ -\frac{2st}{1-s^2} = \frac{2st}{s^2-1}
$$
となる。さらに $s^2-t^2=1$ より $s^2-1=t^2$ であるから、
$$ \begin{aligned} \frac{2st}{s^2-1} &= \frac{2st}{t^2}\\ &= \frac{2s}{t} \end{aligned} $$
である。
次に
$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right),\qquad R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right)
$$
より、直線 $QR$ の傾きは
$$ \begin{aligned} \frac{\frac{2t}{s+1}-0}{1-\frac{1}{s}} &= \frac{\frac{2t}{s+1}}{\frac{s-1}{s}}\\ &= \frac{2st}{(s+1)(s-1)} \end{aligned} $$
である。よって
$$ \begin{aligned} \frac{2st}{(s+1)(s-1)} &= \frac{2st}{s^2-1}\\ &= \frac{2s}{t} \end{aligned} $$
である。
したがって、直線 $PQ$ の傾きと直線 $QR$ の傾きは等しい。よって、$P,Q,R$ は一直線上にある。
解説
この問題では、双曲線 $x^2-y^2=1$ の接線公式
$$ x_0x-y_0y=1
$$
を使えるかが第一のポイントである。
$A,B$ における接線はそれぞれ縦線 $x=-1,\ x=1$ になるため、直線 $BC,AC$ を媒介変数で表すと交点が自然に求まる。
最後の一直線性は、$P,Q,R$ の座標を直接使い、傾きが一致することを示せばよい。その際、$C(s,t)$ が双曲線上にあることから得られる
$$ s^2-1=t^2
$$
を使うことで計算が簡潔になる。
答え
**(1)**
$$ P\left(-1,\frac{2t}{1-s}\right)
$$
**(2)**
$$ Q\left(\frac{1}{s},0\right)
$$
**(3)**
$$ R\left(1,\frac{2t}{s+1}\right)
$$
であり、直線 $PQ$ と直線 $QR$ の傾きはいずれも
$$ \frac{2s}{t}
$$
である。したがって、$P,Q,R$ は一直線上にある。