基礎問題集
数学C 式と曲線「双曲線」の問題13 解説
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解説
方針・初手
交点 $P(x,y)$ における2曲線の接線の傾きをそれぞれ求め、積が $-1$ になることを示す。
焦点が一致する条件を数式化すると、接線の傾きの積を整理するために必要な関係式が得られる。
解法1
楕円
$$ C_1:\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1
$$
の焦点は、$\alpha>\beta>0$ として
$$ \left(\pm\sqrt{\alpha^2-\beta^2},0\right)
$$
である。
また、双曲線
$$ C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
の焦点は
$$ \left(\pm\sqrt{a^2+b^2},0\right)
$$
である。
焦点が一致しているから、
$$ \alpha^2-\beta^2=a^2+b^2
$$
である。したがって
$$ \alpha^2-a^2=\beta^2+b^2
$$
が成り立つ。
$P(x,y)$ を $C_1$ と $C_2$ の交点とする。このとき
$$ \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1,\qquad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
である。
それぞれの式から $x^2$ を表すと、
$$ x^2=\alpha^2\left(1-\frac{y^2}{\beta^2}\right)
$$
および
$$ x^2=a^2\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right)
$$
である。これらを等しいとおくと、
$$ \alpha^2-\frac{\alpha^2}{\beta^2}y^2 = a^2+\frac{a^2}{b^2}y^2
$$
より、
$$ \alpha^2-a^2 = y^2\left(\frac{\alpha^2}{\beta^2}+\frac{a^2}{b^2}\right)
$$
となる。
焦点一致の条件より $\alpha^2-a^2=\beta^2+b^2$ であるから、
$$ \beta^2+b^2 = y^2\frac{\alpha^2b^2+a^2\beta^2}{\beta^2b^2}
$$
である。
ここで $\alpha^2=a^2+\beta^2+b^2$ を用いると、
$$ \begin{aligned} \alpha^2b^2+a^2\beta^2 &=(a^2+\beta^2+b^2)b^2+a^2\beta^2\\ &=a^2b^2+\beta^2b^2+b^4+a^2\beta^2\\ &=(\beta^2+b^2)(a^2+b^2) \end{aligned}
$$
である。したがって
$$ \beta^2+b^2 = y^2\frac{(\beta^2+b^2)(a^2+b^2)}{\beta^2b^2}
$$
より、
$$ y^2=\frac{\beta^2b^2}{a^2+b^2}
$$
を得る。
これを双曲線の式
$$ \frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}
$$
に代入すると、
$$ \begin{aligned} x^2 &=a^2\left(1+\frac{\beta^2}{a^2+b^2}\right)\\ &=a^2\frac{a^2+b^2+\beta^2}{a^2+b^2}\\ &=\frac{\alpha^2a^2}{a^2+b^2} \end{aligned}
$$
である。
したがって
$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2}
$$
が成り立つ。
次に接線の傾きを求める。
$C_1$ を微分すると、
$$ \frac{2x}{\alpha^2}+\frac{2y}{\beta^2}\frac{dy}{dx}=0
$$
であるから、$C_1$ の接線の傾き $m_1$ は
$$ m_1=-\frac{\beta^2x}{\alpha^2y}
$$
である。
また、$C_2$ を微分すると、
$$ \frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0
$$
であるから、$C_2$ の接線の傾き $m_2$ は
$$ m_2=\frac{b^2x}{a^2y}
$$
である。
よって
$$ m_1m_2 = -\frac{\beta^2b^2x^2}{\alpha^2a^2y^2}
$$
である。先ほど得た
$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2}
$$
を用いると、
$$ m_1m_2=-1
$$
となる。
2直線の傾きの積が $-1$ であるから、$P$ における $C_1$ と $C_2$ の接線は直交する。
$P$ は任意の交点であったので、すべての交点で接線は直交する。
解説
この問題の核心は、焦点が一致する条件を
$$ \alpha^2-\beta^2=a^2+b^2
$$
と正しく書くことである。
楕円と双曲線の交点そのものを完全に求める必要はないが、接線の傾きの積を調べるために
$$ \frac{x^2}{y^2} = \frac{\alpha^2a^2}{\beta^2b^2}
$$
を導けばよい。
接線の傾きは陰関数微分で求めるのが最も素直である。最後に傾きの積が $-1$ になれば、2本の接線が直交することが従う。
答え
$C_1$ と $C_2$ の任意の交点において、それぞれの接線の傾きの積は $-1$ である。
したがって、$C_1$ と $C_2$ の交点でそれぞれの接線は直交する。