解説

方針・初手

点と直線からの距離が等しい点の軌跡は、焦点を点 $(1,1)$、準線を直線 $y=-2$ とする放物線である。

ここでは、点 $P(x,y)$ をおき、距離の等式を立てて方程式を求める。

解法1

点 $P(x,y)$ が条件を満たすとする。

点 $(1,1)$ からの距離は

$$ \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}

$$

であり、直線 $y=-2$ からの距離は

$$ |y+2|

$$

である。

したがって

$$ \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=|y+2|

$$

が成り立つ。両辺はともに $0$ 以上なので、両辺を平方してよい。

$$ (x-1)^2+(y-1)^2=(y+2)^2

$$

これを展開する。

$$ x^2-2x+1+y^2-2y+1=y^2+4y+4

$$

両辺から $y^2$ を消去して整理すると、

$$ x^2-2x+2-2y=4y+4

$$

よって

$$ x^2-2x-2=6y

$$

となる。したがって放物線の方程式は

$$ y=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}

$$

である。

問題文では

$$ y=ax^2+bx-\frac{1}{3}

$$

と表されているので、係数を比較して

$$ a=\frac{1}{6},\qquad b=-\frac{1}{3}

$$

である。

解法2

放物線の焦点は $(1,1)$、準線は $y=-2$ である。

焦点と準線の距離は $3$ であるから、頂点は焦点から準線へ垂直に下ろした線分の中点であり、

$$ \left(1,\frac{1+(-2)}{2}\right)=\left(1,-\frac{1}{2}\right)

$$

である。

また、頂点から焦点までの距離は

$$ p=1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}

$$

である。軸が $y$ 軸方向に平行な放物線なので、標準形は

$$ (x-1)^2=4p\left(y+\frac{1}{2}\right)

$$

となる。

ここに $p=\frac{3}{2}$ を代入すると、

$$ (x-1)^2=6\left(y+\frac{1}{2}\right)

$$

よって

$$ x^2-2x+1=6y+3

$$

であるから、

$$ 6y=x^2-2x-2

$$

すなわち

$$ y=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}

$$

となる。

したがって

$$ a=\frac{1}{6},\qquad b=-\frac{1}{3}

$$

である。

解説

この問題は、放物線の定義「焦点と準線からの距離が等しい点の軌跡」をそのまま使う問題である。

距離の等式を立てる解法では、直線 $y=-2$ から点 $(x,y)$ までの距離が $|y+2|$ になる点を正しく扱うことが重要である。両辺を平方することで絶対値は消える。

また、焦点と準線が明示されているので、頂点と焦点距離 $p$ から標準形

$$ (x-h)^2=4p(y-k)

$$

を使う解法も有効である。

答え

$$ a=\frac{1}{6},\qquad b=-\frac{1}{3}

$$