解説

方針・初手

放物線 $y^2=4px$ 上の点は

$$ P(t)=(pt^2,2pt)

$$

とおける。$y$ 座標の大小はそのまま $t$ の大小に対応する。

焦点は $F=(p,0)$ である。焦点を通る弦の両端のパラメータには積が $-1$ になるという関係があるので，まず $A=P(a)$ とおき，$C=P(-1/a)$ と表す。さらに $BD$ が $AC$ に垂直である条件を用いる。

解法1

放物線上の点を

$$ P(t)=(pt^2,2pt)

$$

とおく。焦点は

$$ F=(p,0)

$$

である。

点 $P(t)$ に対して

$$ \overrightarrow{FP(t)} = (p(t^2-1),2pt)

$$

であるから，焦点からの距離は

$$ FP(t) = \sqrt{p^2(t^2-1)^2+4p^2t^2} = p(t^2+1)

$$

である。

$A=P(a),B=P(b),C=P(c),D=P(d)$ とおく。$y$ 座標の小さい順に $A,B,C,D$ であるから

$$ a<b<c<d

$$

である。

$AC$ が焦点 $F$ を通る条件を求める。点 $P(t)$ と $F$ を結ぶ直線の傾きは

$$ \frac{2pt}{p(t^2-1)}=\frac{2t}{t^2-1}

$$

である。したがって，$P(a)$ と $P(c)$ が焦点を通る同一直線上にあるには

$$ \frac{2a}{a^2-1}=\frac{2c}{c^2-1}

$$

である。$a\neq c$ より，

$$ ac=-1

$$

を得る。よって

$$ c=-\frac{1}{a}

$$

である。同様に

$$ bd=-1,\qquad d=-\frac{1}{b}

$$

である。

次に，$AC$ と $BD$ が垂直である条件を用いる。$AC$ の傾きは

$$ \frac{2a}{a^2-1}

$$

であり，$BD$ の傾きは

$$ \frac{2b}{b^2-1}

$$

であるから，

$$ \frac{2a}{a^2-1}\cdot \frac{2b}{b^2-1}=-1

$$

である。すなわち

$$ 4ab=-(a^2-1)(b^2-1)

$$

である。

これは

$$ (ab-a+b+1)(ab+a-b+1)=0

$$

と因数分解できる。

ここで $a<b<c<d$ であり，$c=-1/a,\ d=-1/b$ である。順序を満たす方を選ぶと，$a<-1,\ -1<b<0$ となり，

$$ ab+a-b+1=0

$$

を用いることになる。よって

$$ b=\frac{a+1}{1-a}

$$

である。

(1)

$A=P(a)$ について

$$ \overrightarrow{FA} = (p(a^2-1),2pa)

$$

である。上で見たように $a<-1$ なので，$\overrightarrow{FA}$ は第4象限の向きであり，$x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$ とすると

$$ \cos\theta = \frac{p(a^2-1)}{p(a^2+1)} = \frac{a^2-1}{a^2+1}

$$

である。

したがって

$$ 1-\cos\theta = 1-\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{2}{a^2+1}

$$

より，

$$ a^2+1=\frac{2}{1-\cos\theta}

$$

である。ゆえに

$$ AF=p(a^2+1)=\frac{2p}{1-\cos\theta}

$$

である。

(2)

まず，$A=P(a),C=P(-1/a)$ であるから，

$$ AF=p(a^2+1)

$$

であり，

$$ CF = p\left(\frac{1}{a^2}+1\right) = \frac{p(a^2+1)}{a^2}

$$

である。したがって

$$ AF\cdot CF = p(a^2+1)\cdot \frac{p(a^2+1)}{a^2} = \frac{p^2(a^2+1)^2}{a^2}

$$

より，

$$ \frac{1}{AF\cdot CF} = \frac{a^2}{p^2(a^2+1)^2}

$$

である。

同様に，$B=P(b),D=P(-1/b)$ であるから，

$$ \frac{1}{BF\cdot DF} = \frac{b^2}{p^2(b^2+1)^2}

$$

である。

ここで

$$ b=\frac{a+1}{1-a}

$$

を代入する。まず

$$ b^2=\frac{(a+1)^2}{(1-a)^2}

$$

であり，

$$ b^2+1 = \frac{(a+1)^2+(1-a)^2}{(1-a)^2} = \frac{2(a^2+1)}{(1-a)^2}

$$

である。よって

$$ \frac{b^2}{(b^2+1)^2} = \frac{\dfrac{(a+1)^2}{(1-a)^2}} {\left\{\dfrac{2(a^2+1)}{(1-a)^2}\right\}^2} = \frac{(a+1)^2(1-a)^2}{4(a^2+1)^2} = \frac{(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{AF\cdot CF}+\frac{1}{BF\cdot DF} &= \frac{1}{p^2} \left\{ \frac{a^2}{(a^2+1)^2} + \frac{(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2} \right\} \\ &= \frac{1}{p^2} \cdot \frac{4a^2+(a^2-1)^2}{4(a^2+1)^2} \\ &= \frac{1}{p^2} \cdot \frac{a^4+2a^2+1}{4(a^2+1)^2} \\ &= \frac{1}{4p^2}. \end{aligned}

$$

これは $\theta$ を含まないので，$\theta$ によらず一定である。

解説

焦点を通る弦の両端のパラメータが $t$ と $-1/t$ になることが核心である。放物線 $y^2=4px$ では，点を $P(t)=(pt^2,2pt)$ とおくと，焦点からのベクトルや距離が簡単に表せる。

また，垂直条件は傾きの積が $-1$ であることから処理できる。ただし，得られる因数分解には2通りの候補が現れるため，$A,B,C,D$ が $y$ 座標の小さい順であるという条件を使って正しい方を選ぶ必要がある。この順序条件を見落とすと，$b$ の選択を誤る。

答え

**(1)**

$$ AF=\frac{2p}{1-\cos\theta}

$$

**(2)**

$$ \frac{1}{AF\cdot CF}+\frac{1}{BF\cdot DF} = \frac{1}{4p^2}

$$

よって，この値は $\theta$ によらず一定である。