解説

方針・初手

媒介変数を直接消去するより、$x-1$ と $y-1$ を見ると分母 $1+t^2$ がそろう。まず

$$ x-1=\frac{4t}{1+t^2},\qquad y-1=\frac{2}{1+t^2}

$$

と変形し、ここから楕円の方程式を導く。

解法1

まず、与えられた式から

$$ x-1=\frac{4t}{1+t^2}

$$

また

$$ y-1=\frac{3+t^2}{1+t^2}-1=\frac{2}{1+t^2}

$$

である。

したがって

$$ x-1=2t(y-1)

$$

が成り立つ。一方、

$$ y-2=\frac{3+t^2}{1+t^2}-2=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

である。

ここで

$$ \frac{x-1}{2}=\frac{2t}{1+t^2},\qquad y-2=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

となるので、両辺を平方して加えると

$$ \left(\frac{x-1}{2}\right)^2+(y-2)^2 = \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2+ \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2

$$

である。右辺は

$$ \begin{aligned} \frac{4t^2+(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2} &= \frac{4t^2+1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &= \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} \end{aligned} =1

$$

となる。よって

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1

$$

を得る。

ただし、$t$ は実数であるから

$$ y-1=\frac{2}{1+t^2}>0

$$

であり、$y=1$ は実現しない。楕円

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1

$$

のうち、点 $(1,1)$ は含まれない。

したがって、曲線 $C$ は

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1,\qquad y>1

$$

で表される。

次に概形を考える。この楕円は中心が $(1,2)$、長半径が $2$、短半径が $1$ で、長軸は $x$ 軸に平行である。

主な点は

$$ t=0\quad\text{のとき}\quad (x,y)=(1,3)

$$

$$ t=1\quad\text{のとき}\quad (x,y)=(3,2)

$$

$$ t=-1\quad\text{のとき}\quad (x,y)=(-1,2)

$$

である。また、

$$ \lim_{t\to \pm\infty}x=1,\qquad \lim_{t\to \pm\infty}y=1

$$

であるから、点 $(1,1)$ に近づくが、その点は曲線上にはない。

よって、概形は中心 $(1,2)$、横半径 $2$、縦半径 $1$ の楕円で、下端点 $(1,1)$ を除いたものである。

最後に、距離の和が一定となる $2$ 定点を求める。

楕円

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1

$$

は、中心 $(1,2)$、長半径 $a=2$、短半径 $b=1$ の楕円である。長軸は $x$ 軸に平行なので、焦点は中心から左右に距離 $c$ だけ離れた点である。

楕円の焦点距離について

$$ c^2=a^2-b^2

$$

であるから、

$$ c^2=2^2-1^2=3

$$

より

$$ c=\sqrt{3}

$$

である。

したがって、求める $2$ 定点は

$$ F(1+\sqrt{3},2),\qquad F'(1-\sqrt{3},2)

$$

である。このとき、曲線 $C$ 上の任意の点から $F,F'$ までの距離の和は

$$ 2a=4

$$

で一定となる。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示を見て、単に $t$ を解いて代入するのではなく、三角関数型の恒等式

$$ \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2=1

$$

を利用することである。

$x-1$ と $y-2$ を作ると、楕円の標準形が自然に現れる。特に、得られた方程式だけを見ると楕円全体に見えるが、実際には $y=1$ が実現しないため、下端点 $(1,1)$ を除く必要がある。

焦点は楕円の標準形から決まる。長軸が横方向なので、焦点は中心 $(1,2)$ から左右に $\sqrt{3}$ だけ離れた点になる。

答え

**(1)**

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1,\qquad y>1

$$

すなわち、楕円

$$ \frac{(x-1)^2}{4}+(y-2)^2=1

$$

から下端点 $(1,1)$ を除いた曲線である。

**(2)**

中心 $(1,2)$、横半径 $2$、縦半径 $1$ の楕円で、下端点 $(1,1)$ を除いたもの。

主な通過点は

$$ (-1,2),\quad (1,3),\quad (3,2)

$$

であり、$t\to\pm\infty$ のとき $(1,1)$ に近づく。

**(3)**

$$ F(1+\sqrt{3},2),\qquad F'(1-\sqrt{3},2)

$$