解説

方針・初手

円 $C_n$ の中心は、常に原点 $O$ から距離 $5-n$ の円周上を動く。したがって、接点 $S_n$ に対して $OS_n$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $t$ とすると、まず中心 $O_n$ の座標を

$$ O_n=((5-n)\cos t,(5-n)\sin t)

$$

と表せる。

あとは、点 $P_n$ が円 $C_n$ 上でどれだけ回転したかを、滑らない条件から求める。

解法1

円 $C$ の半径は $5$、円 $C_n$ の半径は $n$ である。

接点 $S_n$ は、原点から見て角 $t$ の方向にあるので、円 $C_n$ の中心は

$$ O_n=((5-n)\cos t,(5-n)\sin t)

$$

である。

点 $P_n$ を、中心 $O_n$ から見た偏角で表す。すなわち

$$ \overrightarrow{O_nP_n} = n(\cos \alpha,\sin \alpha)

$$

とおく。

初めは $t=0$ のとき $P_n=(5,0)$ であるから、$\alpha=0$ である。

円 $C_n$ が円 $C$ の内側を滑らずに転がるので、円 $C$ 上で接点が進んだ弧の長さは

$$ 5t

$$

である。

一方、円 $C_n$ 上では、中心から接点へ向かう方向の偏角は $t$ であり、点 $P_n$ の偏角は $\alpha$ である。したがって、円 $C_n$ 上で対応する弧の長さは

$$ n(t-\alpha)

$$

である。

滑らないことから

$$ n(t-\alpha)=5t

$$

となる。よって

$$ \alpha=t-\frac{5}{n}t=-\frac{5-n}{n}t

$$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{O_nP_n} = n\left( \cos\frac{5-n}{n}t, -\sin\frac{5-n}{n}t \right)

$$

となる。

よって点 $P_n$ の座標は

$$ \boxed{ P_n= \left( (5-n)\cos t+n\cos\frac{5-n}{n}t, (5-n)\sin t-n\sin\frac{5-n}{n}t \right) }

$$

である。

ここで、円 $C_n$ の中心が $n$ 周するので、$t$ の範囲は

$$ 0\leqq t\leqq 2\pi n

$$

である。

特に $n=2$ のとき

$$ P_2(t)= \left( 3\cos t+2\cos\frac{3t}{2}, 3\sin t-2\sin\frac{3t}{2} \right) \quad (0\leqq t\leqq 4\pi)

$$

である。

また $n=3$ のとき

$$ P_3(s)= \left( 2\cos s+3\cos\frac{2s}{3}, 2\sin s-3\sin\frac{2s}{3} \right) \quad (0\leqq s\leqq 6\pi)

$$

である。

次に、点 $P_2$ の描く曲線と点 $P_3$ の描く曲線が同じであることを示す。

$P_2$ の媒介変数を $t$ とし、

$$ s=6\pi-\frac{3t}{2}

$$

とおく。

$t$ が $0\leqq t\leqq 4\pi$ を動くとき、$s$ は $6\pi\geqq s\geqq 0$ を動くので、$P_3$ の媒介変数の範囲全体を動く。

このとき

$$ \cos s=\cos\left(6\pi-\frac{3t}{2}\right)=\cos\frac{3t}{2}

$$

$$ \sin s=\sin\left(6\pi-\frac{3t}{2}\right)=-\sin\frac{3t}{2}

$$

であり、また

$$ \begin{aligned} \cos\frac{2s}{3} &= \cos(4\pi-t)\\ &= \cos t \end{aligned} $$

$$ \sin\frac{2s}{3} = \sin(4\pi-t)

-\sin t

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_3(s) &=\left(2\cos s+3\cos\frac{2s}{3},\ 2\sin s-3\sin\frac{2s}{3}\right)\\ &=\left(2\cos\frac{3t}{2}+3\cos t,\ -2\sin\frac{3t}{2}+3\sin t\right)\\ &=\left(3\cos t+2\cos\frac{3t}{2},\ 3\sin t-2\sin\frac{3t}{2}\right)\\ &=P_2(t) \end{aligned}

$$

となる。

よって、$P_2$ の各点は $P_3$ の描く曲線上にある。逆に、$s$ が $0\leqq s\leqq 6\pi$ を動くとき、対応する

$$ t=4\pi-\frac{2s}{3}

$$

は $0\leqq t\leqq 4\pi$ を動くので、$P_3$ の各点も $P_2$ の描く曲線上にある。

したがって、点 $P_2$ の描く曲線と点 $P_3$ の描く曲線は同じである。

解説

内側を滑らずに転がる円の問題では、中心の位置と、円自身の回転角を分けて考えることが重要である。

中心 $O_n$ は半径 $5-n$ の円を動くため、座標はすぐに

$$ ((5-n)\cos t,(5-n)\sin t)

$$

と表せる。

一方、点 $P_n$ の位置は、円 $C_n$ 自身の回転によって決まる。滑らない条件は「大円上の弧の長さ」と「小円上の対応する弧の長さ」が等しいという条件であり、これにより

$$ n(t-\alpha)=5t

$$

が得られる。

この問題の核心は、$n=2$ と $n=3$ の式を別々に見るだけでなく、媒介変数を変換することで同じ曲線を表していると示す点にある。

答え

**(1)**

$$ \boxed{ P_n= \left( (5-n)\cos t+n\cos\frac{5-n}{n}t, (5-n)\sin t-n\sin\frac{5-n}{n}t \right) }

$$

ただし

$$ 0\leqq t\leqq 2\pi n

$$

である。

**(2)**

$n=2$ のとき

$$ P_2(t)= \left( 3\cos t+2\cos\frac{3t}{2}, 3\sin t-2\sin\frac{3t}{2} \right) \quad (0\leqq t\leqq 4\pi)

$$

であり、$n=3$ のとき

$$ P_3(s)= \left( 2\cos s+3\cos\frac{2s}{3}, 2\sin s-3\sin\frac{2s}{3} \right) \quad (0\leqq s\leqq 6\pi)

$$

である。

$s=6\pi-\dfrac{3t}{2}$ とおくと $P_3(s)=P_2(t)$ となるので、点 $P_2$ の描く曲線と点 $P_3$ の描く曲線は同じである。