解説

方針・初手

極方程式 $r=1-\sin\theta$ から

$$ x=(1-\sin\theta)\cos\theta,\qquad y=(1-\sin\theta)\sin\theta

$$

とおく。接線の傾きは媒介変数表示として

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}

$$

で求める。$y$ 座標の最大値は、$y=(1-\sin\theta)\sin\theta$ を直接調べればよい。

解法1

まず

$$ x=(1-\sin\theta)\cos\theta

$$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &=(-\cos\theta)\cos\theta+(1-\sin\theta)(-\sin\theta)\\ &=-\cos^2\theta-\sin\theta+\sin^2\theta\\ &=2\sin^2\theta-\sin\theta-1\\ &=-(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta) \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ y=(1-\sin\theta)\sin\theta

$$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{d\theta} &=(-\cos\theta)\sin\theta+(1-\sin\theta)\cos\theta\\ &=\cos\theta(1-2\sin\theta) \end{aligned}

$$

である。

ここで $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では

$$ \frac{dx}{d\theta}=-(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)\ne 0

$$

であるから、接線の傾き $u(\theta)$ は

$$ \begin{aligned} u(\theta) &=\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}\\ &=\frac{\cos\theta(1-2\sin\theta)}{-(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)}\\ &=\frac{(2\sin\theta-1)\cos\theta}{(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、

$$ \lim_{\theta\to +0}u(\theta) = \frac{(0-1)\cdot 1}{(1-0)(1+0)} =-1

$$

である。

次に $\theta\to\dfrac{\pi}{2}-0$ の極限を調べる。式

$$ 1-\sin\theta=\frac{\cos^2\theta}{1+\sin\theta}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} u(\theta) &=\frac{(2\sin\theta-1)\cos\theta}{(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)}\\ &=\frac{(2\sin\theta-1)(1+\sin\theta)}{(1+2\sin\theta)\cos\theta} \end{aligned}

$$

である。$\theta\to\dfrac{\pi}{2}-0$ では $\cos\theta\to +0$ で、分子は $2$、分母の $\cos\theta$ 以外の部分は $3$ に近づくから、

$$ \lim_{\theta\to \frac{\pi}{2}-0}u(\theta)=+\infty

$$

である。

次に $y$ 座標の最大値を求める。

$$ y=(1-\sin\theta)\sin\theta

$$

とおき、$t=\sin\theta$ とする。$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であるから $0<t<1$ であり、

$$ y=(1-t)t=t-t^2

$$

である。平方完成すると、

$$ y= -\left(t-\frac12\right)^2+\frac14

$$

であるから、最大値は $t=\dfrac12$ のとき

$$ y=\frac14

$$

である。

$t=\sin\theta=\dfrac12$ より

$$ \theta=\frac{\pi}{6}

$$

である。このとき

$$ r=1-\sin\theta=1-\frac12=\frac12

$$

であるから、

$$ x=r\cos\theta=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}

$$

となる。よって、$y$ 座標が最大となる点は

$$ \left(\frac{\sqrt3}{4},\frac14\right)

$$

である。

曲線の概形を調べる。端での位置は

$$ \theta\to +0 \quad \text{のとき}\quad (x,y)\to (1,0)

$$

であり、

$$ \theta\to \frac{\pi}{2}-0 \quad \text{のとき}\quad (x,y)\to (0,0)

$$

である。ただし、問題の範囲が $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ なので、両端点 $(1,0)$ と $(0,0)$ は曲線に含まれない。

また、

$$ \frac{dx}{d\theta}=-(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)<0

$$

であるから、$\theta$ が増加すると $x$ 座標は単調に減少する。

接線の傾き

$$ u(\theta)=\frac{(2\sin\theta-1)\cos\theta}{(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)}

$$

について、分母は正であり、$\cos\theta>0$ であるから、符号は $2\sin\theta-1$ で決まる。したがって、

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{6}

$$

では $u(\theta)<0$、

$$ \theta=\frac{\pi}{6}

$$

では $u(\theta)=0$、

$$ \frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{2}

$$

では $u(\theta)>0$ である。

よって曲線は、第1象限内で $(1,0)$ に近い点から始まり、左上へ進んで

$$ \left(\frac{\sqrt3}{4},\frac14\right)

$$

で水平な接線をもち、その後は左下へ進んで原点に近づく。原点に近づくときの接線の傾きは $+\infty$ であるから、原点付近ではほぼ鉛直に近づく。

解説

この問題では、極方程式をそのまま扱うよりも、まず

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

に直して媒介変数表示として考えるのが基本である。

接線の傾きは $\dfrac{dy}{d\theta}$ だけではなく、必ず

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}

$$

で求める点に注意する。

また、$y$ 座標の最大値については、$x$ 方向の変化を考える必要はなく、

$$ y=(1-\sin\theta)\sin\theta

$$

を $t=\sin\theta$ とおいて二次関数として調べればよい。概形は、端点の極限、$x$ の単調性、接線の傾きの符号を組み合わせると自然に決まる。

答え

**(1)**

$$ u(\theta)=\frac{(2\sin\theta-1)\cos\theta}{(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)}

$$

したがって、

$$ \text{[ア]}=\frac{(2\sin\theta-1)\cos\theta}{(1-\sin\theta)(1+2\sin\theta)}

$$

$$ \text{[イ]}=-1

$$

$$ \text{[ウ]}=+\infty

$$

**(2)**

$y$ 座標が最大となる点は

$$ \left(\frac{\sqrt3}{4},\frac14\right)

$$

である。

曲線は、第1象限内で $(1,0)$ に近い点から始まり、左上へ進んで $\left(\dfrac{\sqrt3}{4},\dfrac14\right)$ で最高点をとり、その後は左下へ進んで原点に近づく。ただし、$(1,0)$ と $(0,0)$ は曲線に含まれない。