基礎問題集
数学C 式と曲線「極方程式」の問題4 解説
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解説
方針・初手
極方程式を直交座標に直すには、
$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r^2=x^2+y^2
$$
を用いる。特に $r^2\cos^2\theta=x^2$ となるので、これをそのまま代入すればよい。
解法1
与えられた極方程式は
$$ r^2(7\cos^2\theta+9)=144
$$
である。左辺を分配すると、
$$ 7r^2\cos^2\theta+9r^2=144
$$
となる。
ここで
$$ r^2\cos^2\theta=(r\cos\theta)^2=x^2
$$
また
$$ r^2=x^2+y^2
$$
であるから、代入して
$$ 7x^2+9(x^2+y^2)=144
$$
を得る。整理すると、
$$ 16x^2+9y^2=144
$$
したがって、直交座標に関する方程式は
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1
$$
である。
これは原点を中心とする楕円であり、$x$ 軸方向の半径は $3$、$y$ 軸方向の半径は $4$ である。したがって、$y$ 軸方向に長い楕円になる。
交点は
$$ (\pm 3,0),\qquad (0,\pm 4)
$$
である。
解説
極方程式から直交座標の方程式へ変換するときは、$\cos\theta$ を単独で扱うよりも、$r^2\cos^2\theta$ の形を利用するのが自然である。
この問題では
$$ r^2\cos^2\theta=x^2
$$
がそのまま現れるため、分母を含む変形をせずに直交座標へ移せる。変形後の
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1
$$
は楕円の標準形であり、分母が大きい $y$ 軸方向が長軸となる。
答え
直交座標に関する方程式は
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1
$$
である。
概形は、原点を中心とし、$(\pm3,0)$、$(0,\pm4)$ を通る、$y$ 軸方向に長い楕円である。