解説

方針・初手

極座標では

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

とおく。円は $x^2+y^2=r^2$ を用い、直線は $x,y$ を $r,\theta$ で置き換えてから、三角関数の合成により余弦で表す。

解法1

円 $x^2+y^2=1$ について、

$$ x^2+y^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2 =r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2

$$

であるから、

$$ r^2=1

$$

となる。極座標で $r\geqq 0$ とすれば、

$$ r=1

$$

である。

次に、直線 $y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$ に $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を代入すると、

$$ r\sin\theta=-\sqrt{3}r\cos\theta+\sqrt{3}

$$

すなわち

$$ r(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)=\sqrt{3}

$$

となる。ここで

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta =2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)

$$

であるから、直線の極方程式は

$$ 2r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}

$$

すなわち

$$ r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

である。

交点では円の極方程式 $r=1$ も満たすので、

$$ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

となる。したがって

$$ \theta-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi

$$

より、

$$ \theta=0+2k\pi,\qquad \theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi

$$

である。

よって、$0\leqq\theta<2\pi$ で表すと、交点の極座標は

$$ (1,0),\qquad \left(1,\frac{\pi}{3}\right)

$$

である。

解説

直線を極座標で表すときは、単に $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を代入するだけでよい。その後、

$$ a\cos\theta+b\sin\theta

$$

の形が出たら、三角関数の合成を使う。

今回の直線では

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta

$$

が現れるため、余弦で表すには

$$ \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta =2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)

$$

を用いるのが自然である。

交点は、円の極方程式 $r=1$ を直線の極方程式に代入して求めればよい。直交座標で交点を求めてから極座標に変換する方法もあるが、この問題では極方程式を使う方が流れがよい。

答え

**(1)**

$$ r=1

$$

**(2)**

$$ r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

または

$$ r=\frac{\sqrt{3}}{2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}

$$

**(3)**

$$ (1,0),\qquad \left(1,\frac{\pi}{3}\right)

$$