解説

方針・初手

直線 $\mathrm{PQ}$ は単位円上の偏角 $0,\alpha$ の2点を結ぶ弦であるから、原点からの距離や曲線との交点条件は、偏角 $\alpha/2$ を基準にすると簡潔に表せる。

曲線 $C$ は極座標で

$$ r=f(t)=2\cos t-1

$$

と表されているので、直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式を極座標に直して代入する。

解法1

直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式を求める。

点 $\mathrm{P}(1,0)$ と点 $\mathrm{Q}(\cos\alpha,\sin\alpha)$ を通る直線は

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}+y\sin\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}

$$

である。実際、$\mathrm{P}$ を代入すると左辺は $\cos\frac{\alpha}{2}$ であり、$\mathrm{Q}$ を代入すると

$$ \cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2} =\cos\left(\alpha-\frac{\alpha}{2}\right) =\cos\frac{\alpha}{2}

$$

となる。

したがって、原点 $\mathrm{O}$ と直線 $\mathrm{PQ}$ の距離は

$$ \frac{\left|-\cos\frac{\alpha}{2}\right|} {\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}}} = \cos\frac{\alpha}{2}

$$

である。ただし $0<\alpha<\pi$ より $0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$ なので、$\cos\frac{\alpha}{2}>0$ である。

次に、等式を示す。

$$ \begin{aligned} f(\theta)\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right) &=(2\cos\theta-1)\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\\ &=2\cos\theta\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)-\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\\ &=\cos\frac{\alpha}{2} +\cos\left(2\theta-\frac{\alpha}{2}\right) -\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}

$$

ここで、余弦の差の公式

$$ \cos A-\cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

$$

を

$$ A=2\theta-\frac{\alpha}{2},\qquad B=\theta-\frac{\alpha}{2}

$$

に対して用いると、

$$ \cos\left(2\theta-\frac{\alpha}{2}\right) -\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right) = -2\sin\frac{3\theta-\alpha}{2}\sin\frac{\theta}{2}

$$

となる。よって

$$ \begin{aligned} f(\theta)\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2} \\ 2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta-\alpha}{2} \end{aligned} $$

が示された。

次に、曲線 $C$ と直線 $\mathrm{PQ}$ の共有点を調べる。

曲線 $C$ 上の点は

$$ x=f(t)\cos t,\qquad y=f(t)\sin t

$$

と表される。ただし $0<t<\frac{\pi}{3}$ である。この範囲では

$$ f(t)=2\cos t-1>0

$$

であるから、点の偏角はそのまま $t$ である。

この点が直線 $\mathrm{PQ}$ 上にあるための条件は

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}+y\sin\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}

$$

である。曲線 $C$ の表示を代入すると、

$$ f(t)\cos t\cos\frac{\alpha}{2} + f(t)\sin t\sin\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2}

$$

すなわち

$$ f(t)\cos\left(t-\frac{\alpha}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2}

$$

となる。

先に示した等式を $\theta=t$ として用いると、

$$ \begin{aligned} \cos\frac{\alpha}{2} &= 2\sin\frac{t}{2}\sin\frac{3t-\alpha}{2} \\ \cos\frac{\alpha}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \sin\frac{t}{2}\sin\frac{3t-\alpha}{2}=0

$$

を得る。

ここで $0<t<\frac{\pi}{3}$ より

$$ 0<\frac{t}{2}<\frac{\pi}{6}

$$

だから、

$$ \sin\frac{t}{2}>0

$$

である。したがって

$$ \sin\frac{3t-\alpha}{2}=0

$$

が必要十分条件となる。

また、$0<t<\frac{\pi}{3}$ より $0<3t<\pi$ であり、さらに $0<\alpha<\pi$ なので、

$$ -\pi<3t-\alpha<\pi

$$

である。したがって

$$ -\frac{\pi}{2}<\frac{3t-\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}

$$

となる。この範囲で正弦が $0$ になるのは角が $0$ のときのみであるから、

$$ \frac{3t-\alpha}{2}=0

$$

すなわち

$$ t=\frac{\alpha}{3}

$$

である。

$0<\alpha<\pi$ より

$$ 0<\frac{\alpha}{3}<\frac{\pi}{3}

$$

だから、この $t$ は曲線 $C$ の定義域に含まれる。よって曲線 $C$ と直線 $\mathrm{PQ}$ はただ1点のみを共有する。

その共有点を $\mathrm{R}$ とする。$\mathrm{R}$ に対応する媒介変数は

$$ t=\frac{\alpha}{3}

$$

であり、しかも $f(t)>0$ であるから、半直線 $\mathrm{OR}$ の偏角は $\frac{\alpha}{3}$ である。点 $\mathrm{P}$ は正の $x$ 軸上にあるので、

$$ \angle \mathrm{POR}=\frac{\alpha}{3}

$$

である。

解説

この問題の中心は、直線 $\mathrm{PQ}$ を

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}+y\sin\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\alpha}{2}

$$

と表すことである。この形にすると、原点から直線までの距離もすぐに出るうえ、極座標表示された曲線 $C$ との交点条件も

$$ f(t)\cos\left(t-\frac{\alpha}{2}\right)=\cos\frac{\alpha}{2}

$$

という単純な式になる。

また、$0<t<\frac{\pi}{3}$ により $f(t)>0$ である点が重要である。これにより、媒介変数 $t$ をそのまま点の偏角として扱える。最後に $t=\frac{\alpha}{3}$ が定義域内にただ1つ存在することを確認すれば、共有点が1点のみであることと角度が同時に分かる。

答え

**(1)**

$$ \cos\frac{\alpha}{2}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} f(\theta)\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2} \\ 2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta-\alpha}{2} \end{aligned} $$

**(3)**

曲線 $C$ と直線 $\mathrm{PQ}$ はただ1点のみを共有する。

その共有点を $\mathrm{R}$ とすると、

$$ \angle \mathrm{POR}=\frac{\alpha}{3}

$$