解説要約

• (1) 放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は定積分を用いて計算する。公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を利用すると計算がスムーズになる。求めた2つの面積を等号で結び、$b$ を $a$ について解く。
• (2) 2つの放物線の共通接線を求める。接線の方程式を $y = mx + n$ とおいてそれぞれの放物線の方程式と連立し、判別式が $0$ になる条件を利用するか、一方の放物線上の点における接線がもう一方の放物線にも接する条件を利用する。傾き $m$ が負である条件に注意しつつ、接線の $y$ 切片 $n$ を $a$ で表し、極限を計算する。