解説要約

• (1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分し、点 $(a, f(a))$ における接線の方程式を立てる。その方程式と $y = g(a)x + h(a)$ の係数を比較して $g(a), h(a)$ を求める。
• (2) $f(x)$ と接線の式の差をとった関数 $F(x) = f(x) - \{g(a)x + h(a)\}$ を考える。条件は $x \leqq a$ において常に $F(x) \geqq 0$ となることである。$F(x)$ は $x=a$ で極値 $0$ をとるため $(x-a)^2$ を因数にもつ性質を利用して因数分解し、不等式を解く方針をとる。
• (3) 「接点のみを共有する」という条件は、方程式 $F(x) = 0$ の実数解が接点の $x$ 座標である $x=a$ のみ（3重解）になることと言い換えられる。これにより $a$ を決定し、定積分を用いて面積を計算する。