解説要約

• (1)は問題の指示通り、数学的帰納法を用いて等式が成り立つことを証明する。与えられた漸化式 $4{a_{n+1}}^3 + 3a_{n+1} - a_n = 0$ を式変形して代入し、目標の形を導く。
• (2)は漸化式に $a_n = f(x_n)$ を代入し、$f(x)$ の性質を利用する。具体的には、$4f(x)^3 + 3f(x)$ を計算し、それが $f(3x)$ と等しくなることを見抜く。さらに、$f(x)$ が単調増加であることを示すことで、$x_n$ と $x_{n+1}$ の関係式を導出する。
• (3)は(1)と(2)の結果を組み合わせる。$3^n$ を $x_0$ と $x_n$ を用いた式で表し、$n \to \infty$ の極限を微分係数の定義 $\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = f'(0)$ を用いて計算する。