大学入試数学 解説要約
北海道大学 2012年 理系数学 第3問の解説要約
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解説要約
- (1) は不等式の証明の定石通り、(中辺) - (左辺) および (右辺) - (中辺) をそれぞれ関数として設定し、導関数の符号から増減を調べる。
- (2) は (1) で示した不等式の各辺に $t$ （$t \geqq 0$）を掛け、区間 $[0, x]$ で定積分する。積分区間の下端が上端より小さく（または等しく）、被積分関数の大小関係が保たれているため、定積分後も不等式が成立することを利用する。
- (3) は積分 $\int_0^x t \sin t \, dt$ を部分積分を用いて計算し、(2) の不等式の中辺を置き換える。その後、はさみうちの原理を用いて右側極限 $\lim_{x \to +0}$ を求め、関数の偶奇性から左側極限 $\lim_{x \to -0}$ も一致することを示す。
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