大学入試数学 解説要約
北海道大学 2020年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- (1)は数列の各項が条件を満たすことを示すので、数学的帰納法を用いるのが自然である。その際、関数 $f(x) = \sin\frac{\pi x}{2}$ と直線 $y=x$ の上下関係を調べる必要がある。
- (2)は $b_n$ の形から、$F(x) = \frac{1-f(x)}{1-x}$ という関数を考え、その単調性を微分で調べる方針が有効である。
- (3)は(1)の結果から数列 $\{a_n\}$ が単調増加で上に有界であるため極限値を持つことを利用する。$b_n$ の極限については、微分の定義式や極限の公式 $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ などに帰着させる。
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