大学入試数学 解説要約
京都大学 1972年 文系数学 第6問の解説要約
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解説要約
- 数列の漸化式が $u_{n+1} = f(u_n)$ の形で与えられている。ここで $f(x) = \frac{1}{9}(10 - x^2)x$ である。
- （i） は数学的帰納法を用いて $0 < u_n < \frac{3}{2}$ がすべての $n$ で成立することを示す。関数の増減を調べることで、$x$ が指定された範囲にあるとき $f(x)$ もその範囲に収まることを利用する。
- （ii） は $u_{n+1} - u_n$ の符号が $u_n - u_{n-1}$ の符号と一致すること、あるいは $f(x)$ の単調性を利用して、数列の単調性を数学的帰納法で証明する。
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