解説要約

• 与えられた不等式の左辺を展開し、$n$ に依存しない部分と $\frac{1}{n}$ が含まれる部分に分けます。$x^3 + 3x^2 - 9x + 5$ の部分に $x=1$ を代入すると $0$ になることに着目し、因数定理を用いて $(a_n - 1)^2$ の形を作り出すことが第一歩です。
• （i） は不等式から得られる $(a_n - 1)^2 < \frac{a_n}{n(a_n + 5)}$ に対して、$\frac{a_n}{a_n + 5} < 1$ というおおまかな評価を行えば、はさみうちの原理から直ちに導くことができます。
• （ii） は $\frac{a_n}{a_n + 5} \le \frac{1}{4}$ となるような、より厳しい評価が求められます。目標となる不等式から逆算して、$a_n \le \frac{5}{3}$ を示せばよいことに気づくのが鍵となります。