解説要約

• (1) は定積分で表された関数の微分の基本公式 $\frac{d}{dx} \int_c^x g(t) dt = g(x)$ を用いて、等式の両辺を $x$ で微分する。また、$x=0$ を代入して積分区間を $0$ にすることで $f(0)$ の値を求める。
• (2) は(1)で求めた微分方程式から $f'(x)$ を $f(x)$ の式で表し、その式の分母の性質や極限を考えることで不等式を証明する。指数関数とべき乗の積の極限 $\lim_{y \to \infty} y^k e^{-\frac{y^2}{2}} = 0$ を用い、連続関数が有界であることを利用して正の定数 $b, c$ の存在を示す。
• (3) は(2)の結果から $f(x)$ が無限大に発散することを示し、極限を計算する。最小値については関数 $y^a e^{-\frac{y^2}{2}}$ の増減を微分で調べるが、定義域 $y \geqq f(0)$ と極大値をとる $y$ の位置関係が定数 $a$ によって変わるため、場合分けが必要になることに注意する。