解説要約

• $n-1$ 個の数の最大公約数を求めるため、扱いやすい具体的な $k$ の値を代入して最大公約数の候補を絞り込みます。
• $k=1$ のとき ${}_{n}\mathrm{C}_{1} = pq$ となるため、求める最大公約数は $pq$ の約数（すなわち $1, p, q, pq$ のいずれか）に限られます。
• 最大公約数が $p$ や $q$ の倍数にならないことを示すために、$k=p$ や $k=q$ のときの ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ の性質（特に $p$ や $q$ で割り切れるかどうか）を調べます。