大学入試数学 解説要約
京都大学 1998年 理系数学 第2問の解説要約
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解説要約
- (1)は $f(a+2^{n-1})$ を展開し、$f(a)$ との関係を導き出します。展開して現れる項の $2$ の指数に注目し、$2^{n+1}$ を括り出せるかどうかがポイントになります。また、$a^2+7$ が $2^n$ ($n \ge 3$) の倍数であることから、$a$ の偶奇を決定することが証明の鍵を握ります。
- (2)は「任意の自然数 $n$ に対して」という文言と(1)の形から、数学的帰納法の利用が自然な発想です。特に(1)は「$n=k$ で成立すれば $n=k+1$ でも成立する」という帰納法のステップそのものを示唆しています。ただし、(1)の前提が $n \ge 3$ であるため、帰納法の出発点として $n=1, 2, 3$ の確認が必要になります。
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