大学入試数学 解説要約
京都大学 2005年 理系数学 第5問の解説要約
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解説要約
- (1) 2曲線の共有点の存在は、差をとった関数 $h(x) = \cos x - \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ について、区間の両端における符号を調べ、中間値の定理を用いることで示せます。接線が特定の点を通ることは、接点を文字で置き、接線の方程式を立てて直接 $x=0$ を代入して示します。
- (2) 差の関数 $h(x)$ をそのまま微分しても導関数の符号変化を追うのは困難です。方程式 $\cos x = \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ を変形し、半角の公式を利用して $\tan\dfrac{x}{2} = x$ という方程式に帰着させるのがポイントです。
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