大学入試数学 解説要約
九州大学 2002年 文系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- (1) 前半は、三角関数の加法定理から積和の公式（または和を積に直す公式）を導くアプローチをとる。後半は、前半で得られた等式を漸化式とみなし、数学的帰納法を用いて $p_n(x)$ の存在とその次数を示す。
- (2) 恒等式 $p_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ に対して、$\theta$ に $\pi - \theta$ を代入することで $p_n(-x)$ の性質を調べるか、(1) で得られた多項式の漸化式を用いて帰納的に証明する。
- (3) 多項式 $p_n(x)$ において、定数項は $x=0$ を代入した値 $p_n(0)$ であり、1次の項の係数は導関数に $x=0$ を代入した値 $p_n'(0)$ であることに着目する。$x = \cos\theta = 0$ となる $\theta$ （たとえば $\theta = \frac{\pi}{2}$）を代入して求める。
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