大学入試数学 解説要約
九州大学 2003年 文系数学 第1問の解説要約
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解説要約
- $0 \leqq x \leqq 1$ で不等式 $ax^2 + c \geqq (x+1)^2$ が常に成り立つ条件を考える。これを $c$ について解いた形 $c \geqq -ax^2 + (x+1)^2$ に変形し、右辺を $g(x)$ とおく。
- 区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $g(x)$ の最大値 $M(a)$ を求めれば、条件は $c \geqq M(a)$ となるため、最小の $c$ の値は $M(a)$ となる。
- $g(x)$ は２次関数または１次関数となるが、$x^2$ の係数 $1-a$ の正負と軸の位置によって最大値をとる $x$ が変化するため、(1)および(2)の誘導に従って $a$ の値で場合分けをして $M(a)$ を求める。(3)は定積分を計算した上で、(1)(2)の結果を利用して最小値問題に帰着させる。
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