大学入試数学 解説要約
九州大学 2008年 文系数学 第1問の解説要約
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解説要約
- 与えられた数列 $a_n$ はコサインの積で定義されています。(1) や (2) の結論にサインが現れていることから、サインの倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を活用してコサインの積をサインに変換していく方針が立ちます。両辺に $\sin 1$ を掛けることで、連鎖的に倍角の公式を適用できます。
- (3) では、(2) で求めた $a_n$ の式を用いて不等式を証明します。分子の $\sin 2^{n+1}$ が $1$ 以下であることを利用し、分母にある $\sin 1$ と $\sqrt{2}$ の大小関係、つまり $1$ (rad) と $\frac{\pi}{4}$ の大小関係を比較します。
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