解説要約

• (1) は法線の定義に従い、点 $P$ における接線と直交する直線を求めます。接線の傾きから法線の傾きを求めるアプローチが自然ですが、接線の傾きが $0$ になる場合（$p=0$ のとき）は法線が $y$ 軸と平行になるため、別扱いにするか、ベクトルの内積を用いて立式することで場合分けを回避できます。
• (2) は「ある点を通る法線」の問題です。(1) で求めた法線の方程式に点 $(0, a)$ の座標を代入し、接点の $x$ 座標 $p$ に関する方程式の実数解の個数を調べます。「$p$ が一つ定まれば法線が 1 本定まること」「異なる $p$ に対して法線がすべて異なること」を確認したうえで解の個数を数えます。