解説要約

• (1) は、2変数 $x, y$ の不等式であるが、一文字を定数とみなしてもう一文字の関数として微分し、最小値が $0$ 以上になることを示すのが基本方針となる。または、$x, y > 0$ に着目して両辺を $y$ で割り、比 $t = \frac{x}{y}$ の関数として1変数の問題に帰着させることもできる。
• (2) は、(1) で示した不等式が「すべての正の実数 $x, y$ に対して」成り立つことに着目し、$x$ と $y$ に条件を満たす正の関数 $f(x)$ と $g(x)$ を代入して、両辺を積分する。
• (3) は、(2) で得られた不等式の特別な場合を考える。$g(x)$ としてどのような関数を選べば(2)の前提条件 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$ を満たし、かつ目的の不等式が現れるかを考える。