解説要約

• (1) は絶対値を含む三角関数のグラフの基本である。$y = \sin x$ のグラフのうち $x$ 軸より下の部分を折り返して考え、同じ形が繰り返される最小の幅（基本周期）を読み取る。
• (2) は周期関数の定義式 $f(x+p) = f(x)$ から出発する。前半は問題文の誘導に従い、この式にうまく $x$ の値を代入して等式を導く。後半は、前半の結論から得られる2つの場合分けについて、定義式が $x$ についての恒等式であることを利用して証明する。
• (3) は (2) の結論から基本周期 $p$ が満たすべき必要条件（方程式）を立てる。「$1$ 以外の公約数をもたない（互いに素）」という整数問題の定石を活用し、$p$ が最小となる候補を絞り込む。$n$ の偶奇で状況が変わることに注意して場合分けし、最後にその候補が実際に周期であることを確認（十分性の確認）する。