大学入試数学 解説要約
名古屋大学 1973年 文系数学 第5問の解説要約
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解説要約
- 与えられた関数 $f(k)$ は、定義域 $\{1, 2, \dots, n\}$ から値域 $\{1, 2, \dots, n\}$ への単調非減少な関数である。証明すべきは、この関数のグラフが直線 $r = k$ と交点を持つこと、すなわち $f(m) = m$ となる不動点が存在することである。
- 離散的な整数値をとる関数であるため、$f(k) - k$ という値の変化に注目する。
- 定義域の両端である $k=1$ と $k=n$ における値の範囲を考え、$f(k) > k$ を満たす最大の $k$ に着目して直接 $m$ を見つける方法（解法1）と、定義域の要素数 $n$ に関する数学的帰納法を用いて定義域を縮小していく方法（解法2）が考えられる。
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