大学入試数学 解説要約
名古屋大学 1988年 理系数学 第1問の解説要約
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解説要約
- (1) は、条件式 $A^2 - 2AB + B^2 = O$ から目的の式を作り出すための恒等的な式変形を考えます。行列の積は一般に交換法則が成り立たないことに注意して計算を進める必要があります。
- (2) は、行列 $A, B$ が対称行列であること（$A=A', B=B'$）を利用します。条件式の両辺の転置をとることで新しい関係式を導き、$A$ と $B$ が可換（$AB=BA$）であることを示すのが鍵となります。その後は実数成分の対称行列の性質を利用します。
- (3) は、(2)の証明過程を振り返り、「対称行列である」という条件が欠けた場合に何が起こるかを考えます。$(A-B)^2 = O$ を満たすが $A-B \neq O$ となるような行列を構成することで反例を作ります。
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