大学入試数学 解説要約
名古屋大学 1996年 理系数学 第5問の解説要約
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解説要約
- (1)は定義に従ってそのまま項別に微分し、式を整理して $f_{n-1}(x)$ の形が現れることを確認する。
- (2)は(1)で示した漸化式のような微分関係を利用して、数学的帰納法で証明する方針が有効である。差の関数 $g_n(x) = e^{-x} - f_n(x)$ を設定し、$n$ の偶奇に応じて $g_n(x)$ の符号が変わることを、導関数の符号から順次示していく。
- (3)は方程式の解の個数の問題であるから、関数の単調性と両端での極限値（あるいは端点での値）を調べるのが基本となる。(2)の結果から、奇数次のときの導関数 $f_n'(x)$ の符号が定まることに着目する。
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