解説要約

• （1） は問題文で与えられた恒等式を利用して被積分関数を分解し、微分の公式 $(\log|f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ を念頭に置いて積分する。
• （2） は $\frac{1}{\cos^n\theta} = \frac{1}{\cos^{n-2}\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta}$ と分解し、$\frac{1}{\cos^2\theta} = (\tan\theta)'$ であることを利用して部分積分を行い、漸化式を導出する。
• （3） は問題文の誘導「$z$軸に垂直な平面による切り口を考えて」に素直に従う。$z=t$ での切り口の図形を考え、その面積 $S(t)$ を立式する。その後、$t$ の積分から角度 $\theta$ の積分へ置換積分を行うことで、（1） および （2） で求めた $I_1, I_n$ の結果を利用できる形に帰着させる。