大学入試数学 解説要約
名古屋大学 2022年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- (1) 被積分関数を直接積分することはできないため、関数 $f(x)$ の「増加関数であり $f(0)=1$ を満たす」という性質を利用して、計算可能な関数で下から評価し、はさみうちの原理（追い出しの原理）を用いる。
- (2) 前半は(1)と同様に下からの評価で極限を求める。後半は、与えられた等式を $F_n(a_n) = (\text{定数})$ の形に変形し、関数 $F_n(y)$ の導関数から単調性を調べ、中間値の定理を用いることで解の存在と一意性を示す。
- (3) $F_n(y)$ が単調増加であることを利用し、示すべき不等式 $a_n < 4$ を $F_n(a_n) < F_n(4)$ に帰着させる。両辺を定積分の形で表し、積分区間が一致するように置換積分を行って被積分関数の大小を比較する。
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