解説要約

• (1) 関数 $g(x)$ の最大値を考えるため、導関数 $g'(x)$ を計算し、その符号の変化を調べる。$g''(x)$ を調べることで $g'(x)$ が単調減少であることがわかるため、問題で与えられた極限値の情報とあわせて中間値の定理を利用し、$g'(x)=0$ となる点の存在を示す。
• (2) 与えられた $f(x)$ を $x$ で2回微分して $f''(x) > 0$ を示す。また、$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のときの $f'(x)$ の極限を計算する。
• (3) (1) の結果より、$x_0$ は $g'(x_0) = 0$ を満たす点である。これを $f'(x_0) = c$ の形にし、(2) で求めた $f'(x)$ の式に代入して $x_0$ を $c$ で表す。その後、$g(x_0) = cx_0 - f(x_0)$ に代入して値を計算する。