大学入試数学 解説要約
大阪大学 2003年 文系数学 第2問の解説要約
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解説要約
- $f(m)$ は自然数 $m$ の「相異なる素因数の積」を表す関数である。つまり、$m$ を素因数分解したときに現れる素数たちを1回ずつ掛け合わせた値である。
- (1) では、両辺を素因数分解したときの「任意の素数 $p$ の指数」を比較することで証明する。最大公約数 $d$ や積 $mn$ における素数 $p$ の指数がどのように振る舞うかを丁寧に追うのが確実である。
- (2) は、(1) で示した等式 $f(d)f(mn) = f(m)f(n)$ を活用する。これにより、考えるべき方程式から $f(mn)$ を消去でき、最大公約数 $d$ に関する条件に帰着させて数え上げることができる。
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