大学入試数学解説要約

大阪大学 1997年理系数学第5問の解説要約

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大阪大学理系数学1997年度第5問

解説要約

(1) では、まず $f(\theta) = 0$ という方程式を解き、関数 $f(\theta)$ の符号が切り替わる $\theta$ の境界を求める。三角関数の種類を $\cos \theta$ に統一することで、因数分解により解を導くことができる。
(2) では、$y = \sin \theta = t$ とおき、与えられた定義域 $-a \leqq \theta \leqq a$ のもとで $\theta$ と $t$ の対応関係を調べる。$\cos \theta$ を $\pm \sqrt{1 - t^2}$ の形で表す際、$\theta$ の値域によって符号が変化することに注意して場合分けを行う。
(3) では、(2) で求めた $x$ と $y$ の関係から図形の概形を把握し、回転体の体積を定積分で立式する。$y$ の式として体積を立式した後、媒介変数 $\theta$ を用いた置換積分に持ち込む（あるいは最初から $\theta$ の積分として立式する）と計算がスムーズに進む。