大学入試数学 解説要約
大阪大学 2008年 理系数学 第3問の解説要約
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解説要約
- (1) は微分法を用いて関数の増減と凹凸を調べる典型的な問題である。2階微分 $f''(x)$ の符号から上に凸であることを示し、1階微分 $f'(x)$ の単調性と端点での符号から $f'(x)=0$ となる点が1つであることを示す。
- (2) は数列 $a_n$ の最大値を考えるために両辺の対数をとり、(1) で考えた関数 $f(x)$ に帰着させる。最大値をとる項が3つ以上あると仮定して、(1)の事実に反することを導く（背理法）。
- (3) は $k=2$ となる条件を立式する。(2) の議論から最大値を与える $n$ は連続する2つの自然数に限られることを利用し、互いに素な整数の性質を用いて $N=2$ を導き出す。
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