解説要約

• (1) は、方程式 $f(x)=x$ の解の個数を調べるため、$g(x) = x - f(x)$ とおき、微分を用いて関数 $g(x)$ の単調性を調べる。さらに、区間の両端あるいは適当な値における符号の変化を確認し、中間値の定理を用いて解の存在を示す。
• (2) は、不等式の中央の式 $\frac{\alpha - f(x)}{\alpha - x}$ が関数の平均変化率の形をしていることに着目し、平均値の定理の利用を考える。(1) の結果である $f(\alpha) = \alpha$ を用いるのがポイントである。
• (3) は、(2) の不等式を利用して漸化式から評価式を導く。そのためには $0 < x_n < \alpha$ であることを数学的帰納法で示す必要がある。また、右辺の係数 $\frac{1}{2}$ を作り出すために、$x_n \geqq 1$ であることの評価も行う。