大学入試数学 解説要約
東京工業大学 1996年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- 点 $P$ における接線と法線の方程式を立て、それぞれの $x$ 切片である点 $Q, R$ の座標を求めることから始める。得られた線分 $QR$ の長さ $F(t)$ を問題文の条件式(ハ)に代入し、整理することで $f(t)$ と $f'(t)$ に関する関係式（微分方程式）を導く。
- (1)は、導かれた微分方程式から $f''(x)$ を求めて $f'(x)$ の単調増加性を示す。後半の不等式は、導関数の単調性を利用して定積分の不等式を作るか、平均値の定理を用いることで証明できる。
- (2)は、$F(t)$ を $f'(t)$ だけの式で表し、$f'(t)$ を一つの変数とみなして関数の最小値を求める。その際、$f'(t)$ の取りうる値の範囲に注意して場合分けを行う。
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