大学入試数学 解説要約
東京工業大学 2000年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- 2つの関数 $y = e^x$ と $y = e^{nx} - 1$ のグラフの交点を求めるために、差をとった関数 $f(x) = e^{nx} - e^x - 1$ を設定し、微分を用いて関数の増減と極限を調べる。方程式 $f(x) = 0$ の解の存在を中間値の定理で示し、ただひとつであることは単調性から示す。
- 交点の $x$ 座標 $a_n$ と $n$ の関係式から極限を順次求め、面積 $S_n$ の積分計算では得られた交点の関係式 $e^{na_n} = e^{a_n} + 1$ を代入して次数や項を下げることがポイントになる。
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