大学入試数学 解説要約
東京工業大学 2016年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- 階乗 $(n-1)!$ が $n$ で割り切れるかどうかは、$(n-1)!$ の積を構成する $1, 2, \ldots, n-1$ のなかに、$n$ の約数がどのように含まれているかを考えることで判定できる。
- (1)は $n=4$ の場合を具体的に計算し、$n$ が素数の場合は素数の性質（自身より小さい自然数と互いに素であること）を利用して背理法等で示す。
- (2)は $n$ が素数でなく $4$ でもない（つまり $6$ 以上の合成数である）ため、$n = ab$ ($2 \leqq a \leqq b < n$) と表せる。$a \neq b$ の場合と $a = b$ の場合に分けて、$(n-1)!$ の積の中に $n$ の素因数が十分に存在することを示す。
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