大学入試数学 解説要約
東京工業大学 2019年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- 空間を $n$ 枚の平面で分割するときの領域の数 $T(H_1, \dots, H_n)$ は、平面を1枚ずつ追加したときの「領域の増分」を考えることで計算できる。
- $k-1$ 枚の平面がある空間に $k$ 枚目の平面 $H_k$ を追加すると、$H_k$ は既存の $k-1$ 枚の平面と交わり、自身の面上に最大 $k-1$ 本の交線を持つ。この $k-1$ 本の直線によって $H_k$ が $c_{k-1}$ 個の平面領域に分割されるとき、空間領域の増分も $c_{k-1}$ 個となる。
- したがって、最大値からどれだけ領域数が減少するかは、追加される平面上の「直線の配置が一般の位置からどう崩れるか」を追うことで明らかになる。
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