解説要約

• 与えられた図形の条件から、まずは $p, q, r$ が満たすべき関係式を導く。点 $P, Q, R$ が正方形の各辺上にあるという条件から、$p, q, r$ の変域が $0$ 以上 $1$ 以下の実数であることに注意する。
• 三角形の面積は、正方形から周囲の図形を引き算して求める方法や、ベクトルを用いて計算する方法がある。いずれかの方法で条件式を立式し、(1) は $p$ のみの関数として $q, r$ を表現し、その定義域を絞り込む。
• (2) は (1) の結果を用いて、求める式を $p$ の 1 変数関数に帰着させ、微分を用いて増減を調べるという典型的な最大・最小問題の流れとなる。