大学入試数学 解説要約
東京大学 1989年 理系数学 第3問の解説要約
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解説要約
- (1) は、条件通りに $z = x + iy \ (y > 0)$ とおいて $f(z)$ の虚部を計算し、それが正になることを直接示すのが確実である。あるいは、$w = f(z)$ とおいて $z$ を $w$ で表し、$z$ の虚部が正であることから $w$ の虚部の符号を調べる方法（逆変換を考える方法）もある。
- (2) は、一次分数変換の合成が、係数を並べた行列の積に対応することを利用する。$f_n(z)$ は対応する行列の $n$ 乗によって決まるため、$A^5$ が単位行列の実数倍（スカラー行列）になる条件を求める。行列の $n$ 乗の計算には、ケーリー・ハミルトンの定理を用いた多項式の割り算、または固有値の利用が有効である。
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