大学入試数学 解説要約
東京大学 2003年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- 2次方程式の解の累乗の和 $s_n = \alpha^n + \beta^n$ に関する問題である。
- （1） では、解と係数の関係を用いて $s_1, s_2, s_3$ を求め、方程式 $x^2 - 4x - 1 = 0$ に解を代入して次数を下げることで、隣接3項間の漸化式を導出する。
- （2） および （3） では、小さい方の解 $\beta$ の絶対値が $1$ より小さいことを利用して、$\alpha^n$ の整数部分を $s_n$ を用いて表すことが最大のポイントとなる。その後、$s_n$ の $1$ の位の数を合同式（あるいは余り）を用いて調べ、周期性を見つける。
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