大学入試数学 解説要約
東京大学 2007年 理系数学 第4問の解説要約
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解説要約
- （1）は、与えられた条件式 $A = aP + (a+1)Q$ を $(P+Q)A$ に代入し、展開してから $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=O$, $QP=O$ を適用するだけで示せる。
- （2）は、（1）で示した $(P+Q)A = A$ と、与えられた行列 $A$ が正則（逆行列をもつ）であることを利用して $P+Q$ を求める。そこから得られる関係式と $A = aP + (a+1)Q$ を連立して $P, Q$ を決定する。求めた $P, Q$ がすべての条件を満たすことの確認（十分性の確認）を忘れないようにする。
- （3）は、（2）で求めた $P, Q$ が $a$ （すなわち $k$）に依存しない一定の行列であることに着目する。$A_k = kP + (k+1)Q$ と表せるので、直交する射影行列の線形結合の積の性質を利用して、積を各項の係数の積として計算する。
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