大学入試数学 解説要約
東京大学 2009年 理系数学 第1問の解説要約
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解説要約
- (1) は二項係数の定義式 $k! \cdot {}_m\text{C}_k = m(m-1)\cdots(m-k+1)$ に注目し、$m$ が素数の場合に左辺の素因数 $m$ が ${}_m\text{C}_k$ に含まれることを示す。
- (2) は数学的帰納法を用いる。(1) の証明などで頻出の二項定理の展開式を用いて、$(n+1)^m - (n+1)$ を変形する。
- (3) は (2) で示した「すべての自然数 $k$ で成立する」という事実を利用する。$m$ が偶数であること（$(-1)^m = 1$ となること）を活かすため、$k = d_m - 1$ を代入するという発想が鍵となる。
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