解説要約

• 行列が条件 (D) を満たすための必要十分条件を、行列式の言葉で言い換えることから始める。
• 平面上の4点 $(0,0), (x,y), (x+z, y+w), (z,w)$ が面積 $1$ の平行四辺形の頂点をなすことは、2つのベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の面積が $1$ であることと同値で…
• この面積は行列 $\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ の行列式の絶対値に等しい。したがって、行列 $X$ が条件 (D) を満たすことは、「$X$ の成分がすべて整数であり、かつ $|\det(X)| = 1$ が成り立つこと」と同値になる。これを前提として各小問の証明を進める。