解説要約

• （1）では、関数 $f(x)$ および $1-f(x)$ の式をそれぞれ整理し、$0 < x < 1$ における各項の符号を調べることで、微分を用いずに示す。
• （2）では、数列の漸化式 $x_n = f(x_{n-1})$ が与えられているため、$x_n$ と $x_{n-1}$ の関係を不等式で評価し、公比が $1$ より小さい等比数列の形ではさみうちの原理に持ち込む。問題文で与えられた不等式 $1+x \leqq e^x$ を適切に変数変換して活用する。
• （3）では、方程式 $f(x) = x$ の解の存在を示す問題であるため、$g(x) = f(x) - x$ とおき、中間値の定理の利用を考える。ただし $g(0) = 0$ となってしまうため、端点ではなく $x$ が $0$ に近い正の値をとるときの $g(x)$ の符号を調べる必要がある。