大学入試数学 解説要約
東京大学 2017年 理系数学 第6問の解説要約
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解説要約
- 正三角形の条件をベクトルを用いて数式化する。$\triangle OPQ$ が一辺の長さ $1$ の正三角形であることは、原点 $O$ からの距離が $1$ であり、かつ $\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ のなす角が $60^\circ$ であることと同値である。これをベクトルの内積を用いて表す。
- （1）では点 $Q$ の座標が定まっているため、点 $P$ の座標を変数でおいて連立方程式・不等式を解く。
- （2）では点 $Q$ が特定の平面上を動くため、$Q$ の存在条件から $P$ の存在範囲を逆算する。その後、線分 $OP$ が通過する領域の体積を積分、または球の体積を利用して求める。
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